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QUAND LA MATIÈRE EST SCULPTÉE PAR LA BEAUTÉ MATHÉMATIQUE.

Diagrammes de Voronoï / Triangulation de Delaunay

L'objet de ce projet est de créer une lampe design (ci-contre) en diagrammes de Delaunay, dual des diagrammes de Voronoï. J'ai développé la partie partie paramétrique pour le studio Zamak design qui souhaitait la réaliser pour un client ayant commandé une pièce d'exception pour éclairer le hall d'entrée de sa résidence.

La lampe sera imprimée en 3D et fera deux mètres de long pour 70 cm de large ! Elle sera suspendu dans le hall d'entrée.

Etant donné que la lampe a été commercialisée, je ne donnerai pas le contenu du fichier Grasshopper qui a permis de la réaliser.

Toutefois, cet article présente les diagrammes de Voronoï et de Delaunay et propose un petit exercice pour en réaliser un sous Grasshopper sans utiliser la commande toute faite "Voronoï 2D/3D" , ainsi qu'une présentation de la maquette Grasshopper du projet final.

PARTIE 1 - LES DIAGRAMMES DE VORONOI

On les voit partout. En retouche d'image, en médecine (traque des cellules cancéreuses), en structure (le dual du diagramme de Voronoï est la triangularisation de Delaunay qu'on utilise pour les calculs aux éléments finis), dans l'organisation territoriale (la distance à vol d'oiseau à partir d'un ensemble de villes du territoire) et, de plus en plus, en design.

En effet, leur forme aléatoirement organisée inspire de plus en plus les designers. Pour preuve, voyez ici, ici, là ou encore ici. En architecture, un exemple archi-connu est le Water Cube, la piscine olympique de Pékin.

Certaines images de cet article proviennent de Wikipédia.

Devant son nom au mathématicien russe Georgi Fedoseevich Voronoï (1868 - 1908), il s'agit d'une partition de l'espace déterminée selon les distances à un ensemble discret de points, appelés germes.

Pour faire simple disons que ce sont des cellules qui regroupent l'ensemble des points qui sont plus proches d'un germe que de tout autre germe. La frontière des cellules est donc équidistante à deux points (ligne), voire plus (point intersection de deux lignes ou plus).

Dans l'image ci-contre, chaque cellule de couleur contient en son sein un point noir. Il s'agit de son germe. Tous les points de la cellule sont alors plus proches de ce germe que des autres germes. Les frontières peuvent s'intuiter via des lignes médianes entre des couples de points.

Grasshopper propose un composant Voronoï 2D, et même un Voronoï 3D qui permet de tracer immédiatement ces diagrammes à partir d'une collection de points. Je vous propose dans ce tutoriel de réfléchir à leur construction géométrique et de les réaliser sans utiliser ces méthodes toute faites.

PARTIE 2 - COURTE THÉORIE DE LA TRIANGULATION DE DELAUNAY

Une triangulation de Delaunay est un digramme dual au Voronoï. Il s'obtient en reliant les germes P des diagrammes de Voronoï afin d'obtenir une triangulation DT(P) telle qu'aucun point de P n'est à l'intérieur du cercle circonscrit d'un des triangles de DT(P). Image extraite de Wikipedia.

Un diagramme de Delaunay est un dual d'un unique Voronoï. En effet, il existe une et une seule façon de relier les sommets des triangles de façon à obtenir un diagramme de Voronoï et celui-ici correspond au diagramme de Voronoï initial :

PARTIE 3 - UTILISATION DU VORONOI/DELAUNAY POUR UNE LAMPE DESIGN

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Succinctement, le projet - dont je ne divulguerai pas le logigramme car il a été commercialisé - a été réalisé en suivant une série d'étapes :

• Importation de la forme extérieure de la lampe.
• Génération aléatoire d'un ensemble de point dans un parallélépipède englobant cette forme.
• Définition d'un point comme centre du projet - toute la structure doit sembler émaner de ce point.
• Calcul de la distance entre chaque point et le centre du projet.
• Déplacement des points suivant un Graph Mapper afin d'augmenter la concentration en germes près du centre - et donc de diminuer celle des bords -
• Découpage du diagramme de Voronoï suivant la forme de base.
• Les cellules du diagrammes de Voronoï sont mise à très petite échelle afin de constituer les maillages des nœuds de la triangulation de Delaunay. La taille des nœuds est de plus en plus faible en fonction qu'on s'éloigne du centre.
• Enfin, les faces en correspondances des nœuds, celles qui se touchaient avant la mise à l'échelle, sont reliées entre elles, achevant la triangulation de Delaunay.