Icosaèdre

L'icosaèdre est un solide de Platon (c'est-à-dire un polyèdre régulier : toutes ses faces sont identiques et régulières (équilatérales) et tous ses sommets ont le même nombre d'arrêtes convergentes. Ses faces sont triangulaires et à 20 côtés. 

C'est le solide de base le plus utilisé dans la construction des dômes géodésiques. En effet, son grand nombre de faces permet d'obtenir des arrêtes moins marquées.

Méthode de construction de la Lunchbox : je fais ici un petit aparté, la Lunchbox, plug-in de Grasshopper permet de réaliser ce type de solide en utilisant des solides tronqués. L'exemple de l’icosaèdre illustre très bien cette méthode de construction. Lunchbox utilise la propriété constructive de l’icosaèdre qui permet de le réaliser en tronquant progressivement les sommets d'un octaèdre régulier jusqu'à obtenir uniquement des triangles équilatéraux. Cette méthode astucieuse ne permet malheureusement pas une manipulation facile dans Grasshopper des surfaces ainsi obtenues.

Nous utiliserons dans notre construction une autre propriété de l'icosaèdre. On peut démontrer que la sphère circonscrite à l'icosaèdre a pour rayon a√(φ√(5)) où φ est le nombre d'or et a la longueur de chaque arrête. De plus, les nombreuses propriétés de symétrie de l'icosaèdre permettent de lui donner une représentation simple dans un repère orthonormé. Ainsi ses sommets se situent aux coordonnées (±a/2 ; ±a/2φ ; 0) permutées circulairement. Cela signifie que pour des côté de longueur a = 2, les sommets se situent aux coordonnées données par ce schéma :

Dans Grasshopper, voici les étapes qui mènent à la réalisation de l'icosaèdre :

• Création des trois coordonnées permutées circulairement :
  • Un Number Slider nommé a permet de régler la longueur des côtés de l'icosaèdre
  • Lui est appliqué Negative afin de générer les inverses des coordonnées
  • Division par deux achève de créer la première coordonnée ±a/2
  • Graft est appliqué sur l'outpout du résultat
  • Golden Ratio permet d'insérer le nombre φ 
  • Multiplication entre Golden Ratio et le résultat ±a/2 donne la deuxième coordonnée ±a/2φ
  • La dernière coordonnée est simplement insérée via un Panel avec 0
• Création des 12 sommets :
  • Trois composants Point XYZ sont insérés
  • Les coordonnées sont permutées circulairement (0 ; ±a/2 ; ±a/2φ) - (±a/2 ; ±a/2φ ; 0) - (±a/2φ ; 0 ; ±a/2)
• Création de la surface l'icosaèdre :
  • Les points sont regroupés dans un composant Point avec l'input en mode flatten
  • Facet dome appliqué sur ces points permet d'obtenir le dual polaire de l'icosaèdre, le dodécaèdre régulier (image ci-contre) 
  • Disconitnuity permet d'en extraire les sommets
  • Remove Duplicate Points supprime les doublons
  • Facet dome appliqué sur ces sommets permet d'obtenir le dual du dual de l'icosaèdre... donc l'icosaèdre !
  • Enfin Surface appliqué sur le Pattern de l'icosaèdre achève d'en créer la surface

Ci-dessous le logigramme de l'icosaèdre et la vue du résultat final (cliquez pour voir en grand) :

• Cet article est une partie du projet Dôme Géodésique.
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